抛物线的基本知识点（抛物线的知识点有哪些）

本文目录

• 抛物线的知识点有哪些
• 数学抛物线的基本知识点
• 抛物线的基本知识点
• 抛物线的简单几何性质知识点
• 抛物线的相关知识点
• 初中抛物线的基本知识点
• 有关抛物线的所有知识点
• 抛物线的全部知识点
• 抛物线的基本知识点有哪些

抛物线的知识点有哪些

1、准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

2、轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。

3、弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。

4、焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。

5、正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。

6、直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。

7、主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。

8、离心率：e=1（恒为定值，为抛物线上一点与准线的距离以及该点与焦点的距离比）

9、焦点：（p/2，0）

10、准线方程l：x=-p/2

11、顶点：（0，0）

12、通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。

13、定义域：对于抛物线y1=2px，p》0时，定义域为x≥0，p《0时，定义域为x≤0；对于抛物线x1=2py，定义域为R。

14、值域：对于抛物线y1=2px，值域为R，对于抛物线x1=2py，p》0时，值域为y≥0，p《0时，值域为y≤0。

扩展资料：

有关切线、法线的几何性质

（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。

（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。

（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。

（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。

（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。

数学抛物线的基本知识点

数学抛物线的基本知识点如下：

抛物线是一种二次函数，其基本方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。在平面直角坐标系中，抛物线呈现出一种U形的形状，其特点是对称性和焦点性质。

在抛物线的基本知识点中，有以下几个方面：

1.抛物线的图像特点

抛物线在平面直角坐标系中呈现出U形的形状，其左右两侧对称，顶点处为最高点或最低点，且在顶点处抛物线切线的斜率为0。

2.抛物线的焦点和直线准线

抛物线还具有焦点和直线准线两个特殊点。焦点是一个点，它与抛物线上每一点的距离到直线准线的距离相等。直线准线是一条与抛物线对称的直线，它与抛物线的切线平行。

3.抛物线的标准方程和顶点坐标

抛物线的标准方程为y = ax^2，其中a为常数。通过将y轴平移c/a个单位，可以得到一般方程y = ax^2 + bx + c。抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ为方程的判别式。

4.抛物线的切线和法线

抛物线上每一点都有唯一一条切线和一条法线。切线的斜率等于该点处的导数值，法线的斜率为切线斜率的相反数，且通过该点。

5.抛物线的参数方程

抛物线还可以用参数方程表示，其参数方程为x = at^2 + bt + c，y = kt + d，其中a、b、c、k、d为常数，t为参数。参数方程的优点在于可以表示出任意方向的抛物线。

以上就是抛物线的基本知识点。掌握这些知识点，可以更好地理解抛物线的性质和应用，如抛物线的最小值或最大值、抛物线的运动轨迹等。

抛物线的基本知识点

抛物线是一种二次函数，其标准形式为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 都是实数，a ≠ 0。以下是抛物线的一些基本知识点：

1. 抛物线的开口方向。当 a 》 0 时，抛物线开口向上，当 a 《 0 时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的对称轴。抛物线的对称轴是一条垂直于 x 轴的直线，其方程为 x = -b/2a。

3. 抛物线的顶点。抛物线的顶点是抛物线的最高点或者最低点，其坐标为 (-b/2a, c - b²/4a)。

4. 抛物线的零点。抛物线的零点是指抛物线与 x 轴相交的点，其可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来求得。

5. 抛物线的焦点和准线。如果抛物线开口向上，则焦点在抛物线上方，准线在抛物线下方；如果抛物线开口向下，则焦点在抛物线下方，准线在抛物线上方。

6. 抛物线的应用。抛物线在物理、工程等领域中有广泛的应用，如抛物线运动、抛物线反射面、抛物线天线等等。

掌握了以上基本知识点，可以更好地理解和应用抛物线，为学习更深入的相关知识奠定基础。

抛物线的简单几何性质知识点

抛物线的简单几何性质如下：

(1)范围 x≥0,y∈R。

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴。

(3)顶点 抛物线和它的轴的交点。

(4)离心率 始终为常数1。

(5)焦半径 PF|=x0+p/2。

(6)通径 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径，通径的长度：2P。

抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹。

抛物线的规律总结：

①在抛物线的定义中的定点F不在直线l上，否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不再是抛物线。

②抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故在一些问题中，二者可以互相转化，这是利用抛物线定义解题的关键。

抛物线的相关知识点

1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线 。

2、求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式．3、研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．

4、设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行。

初中抛物线的基本知识点

抛物线的基本知识点包括以下内容：①什么是抛物线；②抛物线的图像和方程；③抛物线的性质和应用。

1、什么是抛物线

抛物线是一种特殊的曲线，它的形状类似于开口向上或向下的弧形。在平面直角坐标系内，抛物线的方程通常具有二次项，例如y=ax²+bx+c。

2、抛物线的图像和方程

图像：抛物线的图像通常呈现弧形，它可以是开口向上的，也可以是开口向下的，具体图像形状与方程中的系数a的正负有关。

方程：其形式通常为y=ax²+bx+c，其中a不等于0，而b和c分别为常数，代表了平移的量和偏移的高度。当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

性质和应用

1、抛物线的焦点和准线

所有在抛物线上反射或折射的光线都通过抛物线的一个点，这个点就是抛物线的焦点。抛物线的定点与准线相交，准线垂直于焦点处恰好与抛物线相切。

2、抛物线的投影轨迹

当一个物体以一定的初速度和发射角度从给定位置开始自由落体时，它的轨迹会形成一个抛物线。这个抛物线的轨迹称为该物体的炮弹轨道或者自由落体物体的投影。

3、抛物线在数学中的应用

抛物线广泛应用在数学中的各个领域，例如，抛物线是实数系统中的一个二次函数模型，可以用于解决一些高级数学问题，例如函数变化、最值、性质和导数等问题。抛物线也是微积分中一类重要的曲线，被用于定义一些函数和计算一些重要的积分。

总的来说，抛物线是一种非常重要的曲线，在数学和各个工程领域都有广泛的应用，因此了解抛物线的基本知识点是非常有用的。

有关抛物线的所有知识点

1、定义　　平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。　　定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p》0.　　以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。2.抛物线的标准方程　　右开口抛物线:y^2=2px　　左开口抛物线:y^2=-2px　　上开口抛物线:y=x^2/2p　　下开口抛物线:y=-x^2/2p3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)　　离心率:e=1　　焦点:(p/2,0)　　准线方程l:x=-p/2　　顶点:(0,0)　　通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P4.它的解析式求法：　　知道P　　带入一点5.抛物线的光学性质:　　经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.6、其他　　抛物线：y = ax^2 + bx + c （a=/0)　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c 　　a 》 0时开口向上 　　a 《 0时开口向下 　　c = 0时抛物线经过原点 　　b = 0时抛物线对称轴为y轴 　　还有顶点式y = a（x-h）^2 + k 　　就是y等于a乘以（x-h）的平方+k 　　h是顶点坐标的x 　　k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0)　　一般用于求最大值与最小值 　　抛物线标准方程:y^2=2px 　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 　　由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py7.用抛物线的对称性解题　　我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。 　　例1　已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。　　分析　设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。　　∴y = -（x+1）（x-3），即　　y = - x2 + 2x +3。　　例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。　　分析　要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。　　由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。　　∴y = -（x-1）2+ 6，即　　y = - x2 + 2x +5。　　∴当x =0时，y = 5。　　例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。　　分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4。　　∵点（1，0）在抛物线上，　　∴4a + 4 = 0。∴a = -1。　　∴y = -（x+1）2+ 4，即　　y = - x2 - 2x +3。　　∴点C的坐标为（0，3）。　　∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。　　例4　已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。　　分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4。　　∵点（-1，0）在抛物线上，　　∴4a + 4 = 0。故a = -1。　　∴y = -（x-1）2+ 4，即　　y = - x2 + 2x +3。　　∴点B的坐标为（0，3）。　　连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=98.关于抛物线的相关结论　　过抛物线y^2=2px(p》0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有　　① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/　　③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P

抛物线的全部知识点

抛物线是一种二次函数，通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，并且a不等于零。

以下是抛物线的全部知识点：

1.抛物线的标准式和一般式：

标准式为y=ax^2，表示顶点在坐标原点的抛物线；一般式为y=ax^2+bx+c，可以表示任意位置的抛物线。

2.抛物线的焦点和直线：

对于开口朝上的抛物线，焦点在y轴之上，对于开口朝下的抛物线，焦点在y轴之下。焦点到抛物线的距离等于定点到抛物线的最短距离，这个定点称为抛物线的直线。

3.抛物线的顶点：

抛物线上最高或最低的点称为顶点。如果a》0，则抛物线开口朝上，顶点为最小值；如果a《0，则抛物线开口朝下，顶点为最大值。

4.抛物线的轴：

连接两个坐标轴中心的线称为抛物线的轴。它过抛物线的顶点，并且垂直于焦点到直线的线段。

5.抛物线与二次函数的关系：

抛物线是一种特殊的二次函数，其图像为一个连续的曲线。在解决与二次函数有关的问题时，可以运用抛物线的相关知识点做进一步推导和分析。

6.抛物线的应用：

抛物线在日常生活中有着很多应用，比如在建筑领域中可以用于确定土堆的安全高度；在物理学中可以用于计算物体的弹道和轨迹；在数学中，抛物线也是二次函数的重要应用。

7.抛物线的求解：

在解决抛物线相关问题时，需要用到一些基本算法和公式来求解抛物线的顶点、焦点、直线等参数。这些算法和公式包括平移、旋转、缩放、求导等操作。

8.抛物线的变形：

通过对抛物线进行平移、旋转、缩放等变形操作，可以得到各种不同形状的抛物线，如左右平移后的抛物线、上下翻转的抛物线等。

9.抛物线与其他几何图形的关系：

抛物线与双曲线、椭圆等几何图形密切相关。它们之间有着许多共性和相似之处，但各自也有着独特的性质和特点。

总之，抛物线是一种重要的数学模型，在科学领域中有着广泛的应用。掌握抛物线的相关知识，可以帮助我们更好地理解和解决一些实际问题，同时也对我们提高数学思维能力和解题能力有所裨益。

抛物线的基本知识点有哪些

一、抛物线的基本知识点

1、定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

2、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0).

3、抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

4、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a》0时，抛物线向上开口;当a《0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

5、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab》0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab《0)，对称轴在y轴右。

6、常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)。

二、抛物线的几何变换