立体几何知识点（[立体几何知识点] 高考立体几何知识点）

本文目录

• [立体几何知识点] 高考立体几何知识点
• 高中数学：立体几何知识点及经典题型总结，2021年高考就考这些！
• 高中立体几何知识点总结
• 高中数学必修二第一章立体几何初步知识点
• 立体几何知识点总结
• 立体几何知识点
• 高一数学立体几何知识点总结
• 高中数学立体几何知识点
• 空间向量与立体几何知识点有哪些

[立体几何知识点] 高考立体几何知识点

立体几何知识点 【重点知识整合】 1. 直线与平面平行的判定和性质 （1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行. （2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 注意：在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质. 2. 直线和平面垂直的判定和性质 （1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直. ②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直. （2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直. ②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 3. 平面与平面平行 （1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行. 注意：这里必须清晰“相交”这个条件. 如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点，即这些直线都平行于另一个平面. （2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法，注意一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线平行. 4. 两个平面垂直的判定和性质 （1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角； 注意：在证明两个平面垂直时，一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线，若不存在这样的直线，则可以通过添加辅助线解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性质定理，即在一个平面内作交线的垂直，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. （2）性质：①如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. ②两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内，二是线垂直于交线，才能有线面垂直. (3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 线∥线←−→线∥面←−→面∥面 判定性质−−−→线⊥线←−→线⊥面←−→面⊥面←−−− 线∥线←−→线⊥面←−→面∥面 5. 直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 当直线和平面垂直时，就说直线和平面所称的角为直角；当直线与平面平行或在平面内时，就说直线和平面所称的角为0 角. （2）范围：； （3）求法：作出直线在平面上的射影, 关键是找到异于斜足的一点在平面内的垂足，可根据面面垂直的性质定理来确定垂线. （4）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角是斜线与平面所成的角. 6. 二面角 （1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面. 二面角的大小是通过其平面角来度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直. （2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； （3）二面角的范围：； 7 利用向量处理平行问题 （1）证明线线平行，找出两条直线的方向向量，证明方向向量共线； （2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线（平行）；②证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量，即利用共面向量定理进行证明；③证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直. （3）平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行. 8（理）利用向量处理垂直问题 （1）证明线线垂直，可证明两条线的方向向量的数量积为0； （2）证明线面垂直方法：①根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；②转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线. （3）证明面面垂直的方法：①根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量；②证明一个平面的法向量与另一人平面平行；③转化为证明这两个平面的法向量互相垂直. 9. 利用向量处理角度问题 1. 求异面直线所成的角的向量法：其基本步骤是（1）在a 、b 上分别取AB , CD ；或者建立空间直角坐标系用坐标 AB ⋅CD |确定异面直线a 与b 所成角θ的大小. 表示AB , CD ;(2)由公式cos θ=||AB |⋅|CD | 2. 求直线和平面所成的角的向量法：在斜线上取一方向向量a ，并求出平面α的一个法向量n ，若设斜线和平面所 a ⋅n |. 成的角为θ, 由sin θ=cos =||a |⋅|n | 3. 求二面角的向量法：方法（1）设n ，m 分别是平面β, α的法向量，则向量n 和m 的夹角与二面角α-l -β的 平面角相等或互补. 方法（2）二面角的棱l 上确定两个点A 、B ，过A 、B 分别在平面α、β内求出与l 垂直的向量n 1、n 2，则二面角α-l -β的大小等于向量n 1、n 2的夹角，即 cos θ= 【应试技巧点拨】 1. 线线平行与垂直的证明 证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行. 要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直. 要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件. 解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性. 2. 线面平行与垂直的证明方法 线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点，在小题中考查关系的确定，在解答题考查证明细节. 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行. 12 线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行. 线面垂直的证明思考途径：线线垂直 3. 面面平行与垂直的证明 （1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行. （2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直. 解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化. 4. 探索性问题 探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目. 一般可采用两个方法：一是先假设 线面垂直面面垂直. 存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算. 5. 如何求线面角 （1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键. 确定垂足，是常规方法. 可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法. 从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角. 因为垂线段的长度实际就是点面距h ，利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用 （3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：，如图所示：. 其中为进行求解. 直线AB 与平面所成的线面角. 这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用. 但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. （4）万能方法，空间向量求解不用找角 设AB 是平面的斜线，BO 是平面的垂线，AB 与平面 . 所成的角, 向量与的夹角，则 6. 如何求二面角 （1）直接法. 直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算. 即先作(找) 出表示二面角大小的平面角, 并证明这个角就是所求二面角的平面角, 然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小, 其关键是确定表示二面角大小的平面角. 而确定其平面角, 可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理) 确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角； （2）射影面积法. 利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 法二：设, 是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补）， 则二面角的平面角 7. 如何建立适当的坐标系 根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法. 常见建系方法： （1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2； （2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z 轴，如图3； （3）借助棱锥的高线建系等. 对于正棱锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z 轴，然后在底面确定互相垂直的直线分别为x ，y 轴. 如图4. 8. 如何确定平面的法向量 （1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法； （2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标. 由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设由 解方程组求得. 9. 向量为谋求解立体几何的探索性问题 空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行 判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题 . 【考场经验分享】 1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误． 2．可以考虑向量的工具性作用，能用向量解决的尽可能应用向量解决，可使问题简化． 3．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化． 4．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 5．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a ∥b ，只需证明它们的方向向量满足 a =λb (λ∈R) 即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 6．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

高中数学：立体几何知识点及经典题型总结，2021年高考就考这些！

立体几何在高中阶段属于中难度的知识点， 而且每年雷打不动的出一道大题，小题也会经常涉及到。 从而考查考生的抽象思维、对空间抽象图形的感知能力，而且在以后的高等数学、工程实践有着重要的作用，因此年年高考都会涉及到。 那么自然同学们就要掌握立体几何的知识点和常考题型。但是很多同学都认为立体几何很难，但只要打好基础，就会变得很简单。 所以今天社长给同学们整理了 高中数学立体几何的知识点及常考题型 ，同学们可以打印出来，家长也可以转发给孩子。希望能对同学们有所帮助。 因为篇幅过多，发到平台的只是截取的部分资料 ，建议大家来找我领取一份完整资料打印在手里，这样才能让知识浮现眼前，才真正有作用。 这些都是无偿分享的呀~大家可以 来小窗口私信我【数学立体几何】（一定要先主动呀~） 接下来进入正题。 （因篇幅有限，以上只是一小部分，关注社长，每天分享学习技巧，解读高考出题规律，免费领取电子版资料，帮助同学们快速提分！） 易题不丢失半分，难题不放弃努力。 ——社长今日偷来的语录

高中立体几何知识点总结

　　立体几何是高中数学基本知识之一，高中立体几何知识点有哪些?快来和我一起看看吧。下面是由我为大家整理的“高中立体几何知识点总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　高中立体几何知识点总结

　　平面

　　通常用一个平行四边形来表示。

　　平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.

　　在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：

　　a) A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;

　　b) lα—直线l在平面α内;

　　c) aα—直线a不在平面α内;

　　d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;

　　e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点;

　　f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l。

　　平面的基本性质

　　公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;

　　公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线;

　　公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

　　根据上面的公理，可得以下推论，

　　推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面;

　　推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。

　　推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。

　　公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。

　　拓展阅读：高中数学立体几何解题技巧

　　1.平行、垂直位置关系的论证的策略:

　　(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

　　(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

　　(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

　　2.空间角的计算方法与技巧:

　　主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

　　(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：

　　(2)直线和平面所成的角

　　①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

　　②用公式计算。

　　(3)二面角

　　①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

　　②平面角的计算法：

　　(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式。

　　3.空间距离的计算方法与技巧:

　　(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

　　(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

　　(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

高中数学必修二第一章立体几何初步知识点

　　立体几何初步是高中数学必修二第一章的内容，有哪些知识点需要掌握的呢?下面是我给大家带来的高中数学必修二立体几何初步知识点，希望对你有帮助。

　　高中数学必修二第一章立体几何初步

　　棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H

　　(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积)

　　圆柱表面积A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,体积V=S*H=π*R^2*H

　　(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积,R--底面圆半径)

　　球体表面积A=4π*R^2,体积V=4/3π*R^3

　　(R-球体半径)

　　圆锥表面积A=1/2*s*L+π*R^2,体积V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H

　　(s--圆锥母线长,L--底面周长,R--底面圆半径,H--圆锥高)

　　棱锥表面积A=1/2*s*L+S,体积V=1/3*S*H

　　(s--侧面三角形的高,L--底面周长,S--底面面积,H--棱锥高)

　　长方形的周长=(长+宽)×2 正方形 a—边长 C=4a

　　S=a2 长方形 a和b-边长 C=2(a+b)

　　S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a边上的高

　　s-周长的一半 A,B,C-内角 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC

　　1/2a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D-对角线长 α-对角线夹角 S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a边的高 α-两边夹角 S=ah =absinα =

　　菱形 a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2

　　=a2sinα 梯形 a和b-上、下底长 h-高

　　m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh d-直径 C=πd=2πr

　　S=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽

　　正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高

　　梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径

　　长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高

　　圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高

　　圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体)

　　的体积=底面积×高 平面图形 名称 符号 周长C和面积S a—圆心角度数

　　C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360)

　　弓形 l-弧长 b-弦长 h-矢高 r-半径 α-圆心角的度数 S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos -(r-h)(2rh-h3)1/2

　　=παr2/360 - b/2·1/2

　　=r(l-b)/2 + bh/2

　　≈2bh/3 圆环 R-外圆半径 r-内圆半径 D-外圆直径 d-内圆直径 S=π(R2-r2)

　　=π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴 S=πDd/4

　　立方图形 名称 符号 面积S和体积V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3

　　长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc)

　　V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积

　　h-高 V=Sh/3 棱台 S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h/3

　　拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积

　　S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6

　　圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长

　　S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积 C=2πr S底=πr2

　　S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h =πr2h

　　空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径

　　h-高 V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高 V=πr2h/3

　　圆台 r-上底半径 R-下底半径

　　h-高 V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径

　　d-直径 V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径

　　a-球缺底半径 V=πh(3a2+h3)/6 =πh3(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台 r1和r2-球台上、下底半径 h-高 V=πh/6 圆环体 R-环体半径

　　D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径 V=2π2Rr2 =π2Dd2/4

　　桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15

　　(母线是抛物线形)

　　三视图的投影规则是：

　　主视、俯视 长对正

　　主视、左视 高平齐

　　左视、俯视 宽相等

　　点线面位置关系

　　公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上

　　公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上

　　公理三：三个不共线的点确定一个平面

　　推论一：直线及直线外一点确定一个平面

　　推论二：两相交直线确定一个平面

　　推论三：两平行直线确定一个平面

　　公理四：和同一条直线平行的直线平行

　　异面直线定义：不平行也不相交的两条直线

　　判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。

　　等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等

　　线线平行→线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

　　线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

　　线线垂直→线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直→线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

　　线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

　　线面垂直→线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

　　面面垂直→线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

　　三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

　　高中数学必修二第一章立体几何初步例题

　　对于四面体ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何证明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何证明BC垂直于AD?

　　证明：

　　(1).取BC的中点F,连结AF,DF,则

　　∵AB=AC,BD=CD，

　　∴△ABC与△DBC是等腰三角形，

　　AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,

　　∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD内，

　　∴BC

　　(2).设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.则

　　∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.

　　而BO在平面ABO内，∴BO⊥CD.

　　同理，DO⊥BC.因此，O是△BCD的垂心，因此有

　　CO⊥BD.

　　∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.2.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法

立体几何知识点

　　1、空间中直线的性质，直线与平面的关系有三种，分别是相交，平行，在平面内，判定定理。直线与平面垂直判定定理，它们的逆定理。 　　2、平面与平面之间的关系，空间距离的判断，包括点到平面距离，直线到平面距离，异面距离。

高一数学立体几何知识点总结

　　我为您提供的高一数学知识点，希望可以给大家的数学学习带来帮助。

　　 立体几何初步

　　1、柱、锥、台、球的结构特征

　　(1)棱柱：

　　定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

　　几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

　　(2)棱锥

　　定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

　　表示：用各顶点字母，如五棱锥

　　几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

　　(3)棱台：

　　定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

　　表示：用各顶点字母，如五棱台

　　几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

　　(4)圆柱：

　　定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

　　几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

　　(5)圆锥：

　　定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

　　几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

　　(6)圆台：

　　定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

　　几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

　　(7)球体：

　　定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

　　几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

　　2、空间几何体的三视图

　　定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

　　注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

　　侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

　　3、空间几何体的直观图——斜二测画法

　　斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

　　②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高中数学立体几何知识点

立体几何这类题需要比较强的空间思维 想象力 ，所以对部分同学来说也是挺头疼的类型题。那么下面我给大家分享一些高中数学立体几何知识点，希望能够帮助大家!

高中数学立体几何知识1

柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底 面相 似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高中数学立体几何知识2

空间几何体结构

1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑 其它 因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。

底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。

侧面：棱柱中除底面的各个面。

侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’

3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O

注：棱柱与圆柱统称为柱体

5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。

底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。

侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点

母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。

圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO

注：棱锥与圆锥统称为锥体

6.棱台和圆台的结构特征

(1)棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.

下底面和上底面：原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。

侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面(截后剩余部分)。

侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱(截后剩余部分)。

顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。

棱台的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：棱台ABCD-A’B’C’D’

底面是三角形，四边形，五边形----的棱台分别叫三棱台，四棱台，五棱台---

(2)圆台的结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.

圆台的轴，底面，侧面，母线与圆锥相似

注：棱台与圆台统称为台体。

7.球的结构特征：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。

球心：半圆的圆心叫做球的球心。

半径：半圆的半径叫做球的半径。

直径：半圆的直径叫做球的直径。

球的表示：用球心字母表示。如：球O

注意：1.多面体: 若干个平面多边形围成的几何体

2.旋转体: 由一个平面绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体

高中数学立体几何知识3

几何体的三视图和直观图

1.空间几何体的三视图：

定义：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右);俯视图(从上向下)。

注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽带;侧视图反映了物体的高度和宽带。

球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形。

2.空间几何体的直观图——斜二测画法

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使《x’o’y’=45度(或135度)，它们确定的平面表示水平面。《 p=""》

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画呈平行于x’轴或y’轴的线段。

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

(4)z轴方向的长度不变

高中数学立体几何知识4

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图

是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

数学知识点2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。

数学知识点3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

平面

通常用一个平行四边形来表示.

平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.

在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：

a) A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;

b) lα—直线l在平面α内;

c) aα—直线a不在平面α内;

d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;

e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点;

f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.

平面的基本性质

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

根据上面的公理，可得以下推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行

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空间向量与立体几何知识点有哪些

空间向量与立体几何知识点如下：

量是作为数学工具来解决两类问题：垂直问题，尤其是线面垂直问题，面面垂直基本类似；角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化。而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的。

立体几何的题目是有规律的，比如证明线面平行就要想要线面平行定理，线线平行，面面平行，线面垂直，面面垂直之类也是同理。一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内。

若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB∈α。

过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a∈α。

基本定理：

共线向量定理：两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。

共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。

空间向量分解定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。