抛物线的几何性质（抛物线几何性质）

本文目录

• 抛物线几何性质
• 抛物线的性质
• 抛物线的几何性质
• 抛物线的几何性质是
• 高中数学抛物线的简单几何性质
• 抛物线的性质有哪些呢
• 初中抛物线方程及图像性质
• 抛物线有哪些性质

抛物线几何性质

(1)范围 x≥0,y∈R(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.(3)顶点 抛物线和它的轴的交点.(4)离心率 始终为常数1(5)焦半径 PF|=x0+p/2(6)通径 通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度：2P抛物线有很多几何性质，网上也有不少关于这些性质的推导的文章，不过几乎清一色地都是用的解析几何的方法。联立方程，导出根与系数的关系，算算算算算……但是，与同样是二次曲线的椭圆和双曲线不同，圆和抛物线的几何性质非常「好」，不用坐标法，也能推出很多结论。不过相比具有完美对称性的圆来说，抛物线还是逊色了许多。圆的切线很容易用几何条件去描述（容易用反证法证出圆的切线垂直于过切点的直径），而抛物线的切线虽然也容易用几何条件描述，但相关结论却难以用纯几何法证出。所以涉及切线问题时，还是需要用坐标法证明一个重要结论的。虽然如此，本文的证明过程还是要比带着一大坨方程的纯代数法清爽得多。抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线的性质

抛物线几何性质（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。（为性质（1）第二部分的逆定理）从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。有关弦的几何性质（8）焦点弦两端的切线互相垂直，并且垂足在准线上。（9）过焦点弦的端点A、B作准线的垂线，垂足分别为M、N。设A、B处的切线相交于P，则P是MN中点，并且以AB为直径的圆切准线于P。（10）若抛物线的两条焦点弦相等，连接这两条焦点弦的中点，则连线与轴垂直。（11）抛物线的一条弦AB与轴相交于P（不一定是焦点F），过A、B分别作轴的垂线AM、BN，抛物线顶点为O，则OP2=AM*BN。证明以上性质均可以用坐标法来证明，在此以 为例给出性质（1）、（4）、（9）的证明。（1）焦点 ，准线 ，设 ，则过P的切线方程为：令 ，得 ，所以于是 ，易证二者数量积为0，因此有PF⊥QF。要证PQ平分∠APF，可通过全等三角形的判定方法HL证明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到对应角∠APQ=∠FPQ即可。HL是显然的，因为根据抛物线的定义，有PF=PA，而斜边PQ是公共边，因此两个三角形全等。根据这个性质，我们还能得出一个推论：AF被PQ垂直平分，并且四边形PAQF内接于圆，PQ为直径。（4）根据已知条件，A在x轴上，B在y轴上。PA方程为： ，令x和y等于0，解得容易验证B就是AP中点而 ，它们的数量积为0，因此BF⊥AP，即BF垂直平分AP。要证PM与准线垂直，只要证M的纵坐标与P相同，都为y0即可。容易写出直线BF： ，令 ，解得故 ，命题得证。（9）设联立AB与抛物线方程，消去x得由韦达定理，又PA与PB都为切线，根据切线方程，联立PA与PB的表达式可解得而，根据中点坐标公式和韦达定理可知P是MN中点。设AB中点为E，则E的纵坐标，与P的纵坐标相同，因此PE∥x轴，PE⊥MN而根据性质（8）可知PA⊥PB，即△PAB为直角三角形所以E是△PAB的外心，所以PE是半径根据切线的判定定理可知，MN是圆E的切线，切点为P。切线的尺规作图根据几何性质（2）可以得到过抛物线上一点或抛物线外一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。（1）P在抛物线上①过P作准线的垂线，设A为垂足②连接PF（F是焦点）③作∠APF的平分线PQ则根据性质（2），直线PQ为切线（2）P在抛物线外①连接PF②以P为圆心，PF为半径画弧，弧与准线分别交于A、B③过A、B分别作准线的垂线，垂线和抛物线分别交于M、N④连接PM、PN，则PM、PN为所求切线（有两条）这是因为，若连接MF，则在△PAM和△PFM中∵PA=PF（圆的定义），PM=PM（公共边），MA=MF（抛物线的定义）∴△PAM≌△PFM（SSS）∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的对应角相等）∴MP平分∠AMF（角平分线的定义）

抛物线的几何性质

抛物线的简单几何性质1、范围：因为，由方程可知，这条抛物线上任意一点的坐标满足不等式，所以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.

2、对称性：以代，方程不变，因此这条抛物线是以轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴

3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程中，当时，，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.

4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用表示.按照抛物线的定义，

抛物线的几何性质是

1．范围因为p＞0，由方程 可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y代y，方程 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

高中数学抛物线的简单几何性质

1.抛物线切线定理抛物线上任意点P，其在准线上的射影为M，抛物线焦点为F，则过P点的切线平分∠MPF。2.抛物线切线方程过抛物线上一点P（x0，y0）的的切线方程为：y0y=p(x+x0)3.抛物线切点弦方程过抛物线外一点P（x0，y0），做抛物线上的两条切线，切点为A，B，则过A，B的切点弦方程为：y0y=p(x+x0)4.焦点弦性质性质1：以焦点弦为直径的圆与准线相切。性质2：以焦点弦在准线上的射影为直径的圆与焦点弦相切。5.切点弦性质性质1：准线上的点形成的切点弦过焦点。性质2：做抛物线外一点的切点弦，如果过焦点，则此点必在准线上。

抛物线的性质有哪些呢

抛物线的二级结论有如下：

1、当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2、当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线四种方程的异同点：

1、原点在抛物线上，离心率e均为1 。

2、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

3、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py  方程的左端为x^2。

4、开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号 开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

几何性质：

1、设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

2、过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

3、设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

4、设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。

初中抛物线方程及图像性质

一、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0＜e《1时为椭圆，当e》1时为双曲线。

二、抛物线的方程及图形

抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：

抛物线有哪些性质

　1．抛物线的简单几何性质　　抛物线的范围，对称性、顶点、离心率统称为其简单几何性质，对于抛物线的四种不同形式的标准方程，它们有相同的顶点和离心率，而其范围和对称性，则与标准方程的形式有关，注意结合图形来得出。　　2．由抛物线的定义可知，若直线1过抛物线的焦点F且交抛物线于两点，则焦半径，，弦长，　　抛物线的焦点弦有很多重要性质，后面结合有关例题作详细研究。　　3．圆锥曲线的统一定义　　由椭圆、双曲线的第二定义及抛物线的定义可知，平面上动点M到定点F及到定直线1的距离之比等于常数e的点M的轨迹是圆锥曲线（这里点F不在直线1上，e》0，其中F是圆锥曲线的一个焦点，1是与F对应的准线，而e即为其离心率。）　　当0《e《1时，轨迹是椭圆；　　当e=1时，轨迹是抛物线；　　当e》1时，轨迹是双曲线。　4．最值问题　　设是抛物线上的动点，则点P到某定点或某定直线的距离的最大（小）值问题，可利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式建立距离d关于或的函数，再求最值，而抛物线的范围则决定了函数的定义域。1、通径是过焦点的弦中最短的弦2、对y^2=2px来说，过焦点的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1*y2=-p^23、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，(1/AF)+(1/BF)为定值4、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，过A作AA1垂直于准线于A1，过B作BB1垂直于准线于B1，M为A1B1中点，则AM⊥MB5、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，C在抛物线的准线上，且BC//x轴，则AC过原点6、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，向量OA、OB的数量积为定值7、光学性质：过焦点的光线被抛物线反射后为一组平行光线。8、设C为抛物线上一点，过抛物线的焦点F作直线L交抛物线于A、B，AF、BF分别与准线交于P、Q，则PF⊥QF。（这个结论对椭圆、双曲线也成立。）